Analytische Funktionen in der Zahlentheorie by Ekkehard Krätzel

By Ekkehard Krätzel

Im Mittelpunkt des Buches steht die Behandlung von Funktionalgleichungen analytischer Funktionen, die für die Anwendungen in der Zahlentheorie von Interesse sind. Ausgehend vom Gedankenkreis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes werden die analytischen Grundlagen durch die Jacobischen Thetafunktionen und die Dedekindsche Etafunktion gelegt und ihre Beziehungen zu den Gaußschen und Dedekindschen Summen erörtert. Anschließend werden Verallgemeinerungen dieser Funktionen bezüglich höherer arithmetischer Probleme besprochen. Schließlich werden analytische Funktionen über konvexen Körpern betrachtet und Abschätzungen von Gitterpunktanzahlen in konvexen Körpern vorgenommen.

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Wir beginnen mit der Partialbruchzerlegung des Cotangens. -= ie'IT'Z . SIn 7rZ - . e- nz = i coth 7riz gegeben. 16 Die Fttnktion cot 7rZ ist eine in der gesamten Ebene meromorphe Funktion mit einfachen Polstellen bei z = ±n, n = 0,1, .... 42) cot 7rZ = - + 2 2. 7rZ 7r n=l Z - n L Beweis. (Oj it) dt o co = / e- st 0 ~'!? 4. ,fiB. 42). Die im Satz genannten funktionentheoretischen Eigenschaften sind offensichtlich. 1m Beweis trat der Begriff LAPLACE- Trans/ormation auf. 44) o aus F(t) hervorgeht.

9(Ojit) -I)dt. 1 Dieses Integral konvergiert fiir aIle 8 und stellt eine holomorphe Funktion dar. Die rechte und damit auch die linke Seite ist folglich eine holomorphe Funktion in der gesamten Ebene mit Ausnahme der beiden Polstellen 8 = 0,1. ,fii. Daher hat ((8) in 8 = 1 einen einfachen Pol mit dem Residuum 1. r(8/2} ist holomorph in der gesamten Ebene mit Ausnahme der einfachen Polstellen 8 = 0, -2, -4, .... Deshalb ist auch ((8) fUr Re(8} S 1, 8 =lI holomorph mit ((O) =I- 0, (( -2n) = 0 fUr n E N.

Also ist I(ts) I: :; ((a). Damit ist ((s) fUr a> ao > 1 nach oben und unten beschriinkt. Aus dieser Aussage konnen wir eine solche fiir a < 0 ableiten. 49) verhiilt. Dies ist iiberdies die genaue Abschiitzung, die nicht mehr verbessert werden kann. -U) . KAPITEL 2. REZIPROZITATSGESETZE 58 fiir a < al < 0 abo Diese Abschatzung kann ebenfalls nicht mehr verbessert werden. Nun fiihren wir die LINDELOFsche JL-Funktion ein. JL(a} = inf{>' : I((a + it}1 = O(ltIA)}. Wir wissen bereits JL(a} = 0 fiir a> 1, fiir a < O.

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